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科目の基本情報
| 開講年度 | 2024 年度 | |
|---|---|---|
| 開講区分 | 工学部機械工学科／総合工学科機械工学コース ・専門教育 | |
| 受講対象学生 |
学部(学士課程) : 2年次 |
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| 選択・必修 | 選択 |
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| 授業科目名 | 解析力学 | |
| かいせきりきがく | ||
| Analytical Mechanics | ||
| 単位数 | 2 単位 | |
| ナンバリングコード | EN-SYST-3
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| 開放科目 | 開放科目
他専攻の学生の受講可, 自専攻の学生の受講可, 他研究科の学生の受講可, 自研究科の学生の受講可, 他講座の学生の受講可, 他類の学生の受講可, 他学科の学生の受講可, 他学部の学生の受講可 |
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| 開講学期 |
後期 |
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| 開講時間 |
金曜日 5, 6時限 |
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| 授業形態 |
ハイブリッド授業 * 状況により変更される可能性があるので定期的に確認して下さい
「オンライン授業」・・・オンライン会議ツール等を利用して実施する同時双方向型の授業 |
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| 開講場所 | 工学研究科の教室 または zoomによる遠隔授業 | |
| 担当教員 | 小竹 茂夫（工学部） | |
| KOTAKE, Shigeo | ||
| kotake@mach.mie-u.ac.jp | ||
| SDGsの目標 |
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| 連絡事項 | 以下の書籍を教科書として用います． 力学 Ⅱ 原島鮮著 裳華房 ISBN : 978-4-7853-2273-1 * 状況により変更される可能性があるので定期的に確認して下さい |
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学修の目的と方法
| 授業の概要 | 機械工学のエンジニアが最も専門とする物理に力学があります．三重大学の機械工学科では，基礎物理学１で質点系の物理を，力学で剛体系の物理を学んできましたが，最後に，この解析力学を学ぶことで，これらの統合的な理解へと進みます．解析力学は，従来の力による運動方程式とは違い，エネルギーによる力学の理解を与えます．この手法を使うことで，複雑な多体系の運動方程式が，簡単に導出できることに驚くことでしょう．また解析力学を知ることで，その先に発展した量子力学の深い理解が得られるでしょう． 本講義では，工学系のエンジニアに必要な，様々な具体例を解くことを中心に授業を進めますが，その中で，変分法，最小作用の原理，オイラー・ラグランジュの方程式，ハミルトンの正準方程式，正準変換，対称性と保存則，ラグランジュ未定係数法,ポアソン括弧式等の概念についても説明したいと思います．さらに時間が許せば，特殊相対性理論や電磁気学にも触れ，電磁場中の粒子のラグランジアンについても理解を深めます．さらに時間が許せば，経路積分にも触れ，古典力学と量子力学の関係，Schrodinger方程式の導出についても言及します． 基本的に具体的な演習を中心に授業を進めますので，解析力学を使いこなす訓練（演習）の場として，気軽に受講ください． The physics most specialized by mechanical engineering engineers is dynamics. In the Department of Mechanical Engineering at Mie University, we have studied the physics of mass systems in basic physics 1 and the physics of rigid systems in mechanics. will go forward. Analytic mechanics, unlike the traditional equation of motion with force, gives an understanding of dynamics with energy. You will be surprised at how easily you can derive complex equations of motion using this method. Also, knowing analytical mechanics will give you a deeper understanding of quantum mechanics that has evolved. In this lecture, we will focus on solving various concrete examples required for engineering engineers. Among them, variational method, principle of minimum action, Euler-Lagrange equation, Hamilton's positive I will also explain concepts such as quasi-equations, canonical transformations, symmetry and conservation laws, Lagrange's undetermined coefficient method, and Poisson bracket expressions. If time allows, I will also go into special relativity and electromagnetics, and deepen my understanding of the Lagrangian of particles in electromagnetic fields. If time permits, I will also mention the path integral, the relation between classical mechanics and quantum mechanics, and the derivation of the Schrodinger equation. Basically, lessons will be conducted mainly on specific exercises, so please feel free to take a place as a training (exercise) place to master analytical mechanics. |
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| 学修の目的 | ・変分法を理解できる． ・最小作用の原理を理解できる． ・多体系のラグランジアンを求め，オイラー・ラグランジュの方程式を導出できる． ・多体系のハミルトニアンを求め，正準方程式を導出できる． ・異なるパラメーター間の正準変換ができる． ・対称性から保存則が分かる． ・特殊相対性理論が分かる． ・電磁場中の粒子のラグランジアンを求め，オイラー・ラグランジュの方程式を導出できる． ・経路積分，ポアソン括弧式から，古典力学と量子力学の関係が理解できる． ・ Understand variational methods. ・ Understand the principle of minimum action. ・ Determine the Lagrangian of many systems and derive Euler-Lagrange equations. ・ Determine the Hamiltonian of many systems and derive canonical equations. ・ Canonical conversion between different parameters. ・ Symmetry shows the conservation law. ・ Understand special relativity. ・ Determine the Lagrangian of particles in an electromagnetic field and derive Euler-Lagrange equation. ・ The relationship between classical mechanics and quantum mechanics can be understood from the path integral and Poisson bracket expressions. |
| 学修の到達目標 | ・変分法を理解できる． ・最小作用の原理を理解できる． ・多体系のラグランジアンを求め，オイラー・ラグランジュの方程式を導出できる． ・多体系のハミルトニアンを求め，正準方程式を導出できる． ・異なるパラメーター間の正準変換ができる． ・対称性から保存則が分かる． ・特殊相対性理論が分かる． ・電磁場中の粒子のラグランジアンを求め，オイラー・ラグランジュの方程式を導出できる． ・経路積分，ポアソン括弧式から，古典力学と量子力学の関係が理解できる． ・ Understand variational methods. ・ Understand the principle of minimum action. ・ Determine the Lagrangian of many systems and derive Euler-Lagrange equations. ・ Determine the Hamiltonian of many systems and derive canonical equations. ・ Canonical conversion between different parameters. ・ Symmetry shows the conservation law. ・ Understand special relativity. ・ Determine the Lagrangian of particles in an electromagnetic field and derive Euler-Lagrange equation. ・ The relationship between classical mechanics and quantum mechanics can be understood from the path integral and Poisson bracket expressions. |
| ディプロマ・ポリシー |
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| 成績評価方法と基準 | ＊期末試験がオンラインになった場合：授業のレポート（p:20点），出席や質問（q:10点）と期末試験（r：100点）により、100 * (p+q+r) / 140 の評価点（100満点）によって総合的に判断します。 ＊期末試験が対面になった場合：授業のレポート（p:20点），出席や質問（q:10点）と期末試験（r：100点）により、100 * (p+q+r) / (p+q+100) の評価点（100満点）によって総合的に判断します。 * If the final exam is online: class report (p: 20 points), attendance and questions (q: 10 points) and final exam (r: 100 points), 100 * (p + q + r) / Comprehensive judgment based on 140 evaluation points (out of 100). * If the final exam is face-to-face: 100 * (p + q + r) / by class report (p: 20 points), attendance and questions (q: 10 points) and final exam (r: 100 points) (p+q+100) will be comprehensively judged by the evaluation score (out of 100). |
| 授業の方法 | 講義 |
| 授業の特徴 |
Moodleを活用する授業 |
| 授業アンケート結果を受けての改善点 | ・毎回，授業前にレジュメを配り，その日の授業のまとめや課題を示す．休んだ学生の便宜をはかるために，レジュメをMoodleで提供する． ・授業の板書を書画カメラを用いることで記録し，Moodleで学生に提供する．これにより受講生の復習をしやすくする． ・授業後にMoodleで小テストを行い，理解の定着を図る． ・質問や連絡をMoodleでおこない，受講生全体に行き渡るようにする． ・正当な理由があって休んだ学生の便宜をはかるために，要請があった場合には，講義のビデオを視聴できるようにする． ・Every time, a resume is distributed before class, showing a summary of the day's class and assignments. For the convenience of absent students, resumes are provided in Moodle. ・Record the blackboard in class using a document camera and provide it to students in Moodle. This makes it easier for students to review. ・A quiz will be given in Moodle after the class to establish understanding. ・Use Moodle to ask questions and communicate with other students so that they can reach out to all students. ・For the convenience of students who are absent for valid reasons, videos of lectures will be made available upon request. |
| 教科書 | 力学Ⅱ 原島鮮著 （裳華房） |
| 参考書 | 「解析力学」（講談社基礎物理学シリーズ５）（伊藤克司著 講談社） 三重大学図書館HPの電子ブック（Maruzen eBook Library）にあります． 図書館のHPの丸善e-book libraryから各自ダウンロードください． 他にも， 「工学系のための解析力学」 河辺哲次著 裳華房 ISBN 978-4-7853-2240-3 「よくわかる解析力学」 前野昌弘著 東京図書 ISBN 978-4-489-02162-6 「解析力学」(裳華房フィジックスライブラリー) 久保謙一 裳華房 ISBN: 978-4-785-32205-2 「ロボットと解析力学」 有本卓，田原健二著 コロナ社 ISBN 978-4-339-04521-5 |
| オフィスアワー | 毎週月曜日12：20〜14：30に機械棟2階小竹教員室にて対応する．電子メールによる質問を歓迎する． Every Monday from 12:20 to 14:30, I will respond in the Kotake teacher's room on the second floor of the machine building. I welcome e-mail questions. |
| 受講要件 | 特になし． nothing special. |
| 予め履修が望ましい科目 | 基礎物理学１，力学を受講していることが望ましい． It is recommended that you take Basic Physics 1 and Mechanics. |
| 発展科目 | 振動工学，制御工学，量子力学，応用電子論，応用量子論，固体物理学特論，固体物理学演習 Vibration engineering, Control engineering, Quantum mechanics, Applied Electron Theory, Applied Quantum Mechanics, Solid State Physics, Seminar in Solid State Physics |
| その他 |
・講義の連絡はMoodleを通じて連絡しますので，登録を御願いします。 ・レジュメは，Moodel内にpdfの形で置いてあります。なくした人は取って行ってください。 ・正当な理由があって休んだ場合は，連絡をください．講義のビデオを公開します． ・Lectures will be communicated through Moodle, so please register. ・ The resume is in pdf format in Moodel. If you lose, please take it away. ・If there is a legitimate reason for taking a day off, please let us know. Lecture videos will be released. |
授業計画
| MoodleのコースURL |
https://moodle.mie-u.ac.jp/moodle35/course/view.php?id=4082 |
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| キーワード | ニュートン力学，オイラー・ラグランジュの運動方程式，変分法と最小作用原理，対称性と保存則， ハミルトンの運動方程式，正準方程式，連成振動，規準座標，規準振動，リウヴィルの定理， 正準変換，ポアソン括弧式，非保存系における解析力学，束縛運動とラグランジュの未定乗数法， 経路積分，Schrodinger方程式，正準量子化，特殊相対性理論，電磁場下での粒子のラグランジアン |
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| Key Word(s) | Newtonian mechanics, Euler-Lagrange equation of motion, variational method and least action principle, symmetry and conservation law, Hamilton's equation of motion, canonical equation, coupled oscillation, reference coordinates, reference oscillation, Liouville's theorem, canonical transformation, Poisson bracket expression, analytical mechanics in nonconservative systems, bounded motion and Lagrange's undetermined multiplier method, path integral, Schrodinger equation, canonical quantization, special relativity, Lagrangian of particles under electromagnetic field |
| 学修内容 | 第１回講義 ニュートン力学 ニュートンの運動方程式 質点の運動方程式 剛体の運動方程式 簡単な運動 自由落下・調和振動・物体と滑車 ニュートンの運動方程式の制約 運動方程式のベクトル表現 なぜ解析力学を学ぶのだろう 解析力学の2つの形式 ラグランジュ形式とハミルトン形式 Lecture 1: Newtonian mechanics Newton's equation of motion Mass equation of motion Equation of motion of a rigid body Simple movement: free fall, harmonic vibration, object and pulley Newton's equation of motion constraints Vector representation of equation of motion Why learn analytical mechanics? Two forms of analytical mechanics: Lagrange form and Hamilton form 第２回講義 ラグランジュ形式の基礎 簡単な運動 自由落下・調和振動・物体と滑車 自由度と一般座標 自由度 一般座標 オイラー・ラグランジュの運動方程式 運動方程式の導出 循環座標と保存則 保存力 一般力 一般力と仕事 減衰力と散逸関数 Lecture 2: Basics of Lagrange style Simple movement: free fall, harmonic vibration, object and pulley Degrees of freedom and general coordinates Degree of freedom General coordinates Euler-Lagrange equation of motion Derivation of equation of motion Circular coordinates and conservation laws Conservation power General strength General power and work Damping force and dissipation function 第３回講義 変分法と最小作用原理 光におけるフェルマーの原理 停留値問題 力学における最小作用原理（ハミルトンの原理） 最小作用原理とオイラー・ラグランジュの運動方程式 簡単な運動 自由落下・調和振動・物体と滑車 対称性と保存則 Lecture 3: Variational method and principle of least action Fermat's principle in light Stationary value problem Minimum action principle in mechanics (Hamilton's principle) Minimum action principle and Euler-Lagrange equation of motion Simple movement: free fall, harmonic vibration, object and pulley Symmetry and conservation laws 第４回講義 力学問題へのアプローチ（その１） 斜面を転がる物体 ロボットアームの力学 クレーンの運動 ニュートンの運動方程式で解く場合 オイラー・ラグランジュの運動方程式で解く場合 Lecture 4: Approach to Mechanics Problems (Part 1) An object rolling on a slope Robot arm dynamics Crane motion Solving with Newton's equation of motion Solving with Euler-Lagrange equation of motion 第５回講義 力学問題へのアプローチ（その２） 単振り子 球面振り子 長さの変わる振り子 剛体振り子 惑星の運動 ニュートンの運動方程式で解く場合 オイラー・ラグランジュの運動方程式で解く場合 Lecture 5: Approach to Mechanics Problems (Part 2) Simple pendulum Spherical pendulum Pendulum of variable length Rigid pendulum Planetary motion Solving with Newton's equation of motion Solving with Euler-Lagrange equation of motion 第６回講義 力学問題へのアプローチ（その３） いろいろな自由度系の振動 連成振動 ビルの揺れ 規準座標 規準振動 ニュートンの運動方程式で解く場合 オイラー・ラグランジュの運動方程式で解く場合 Lecture 6: Approach to Mechanics Problems (Part 3) Vibration of various degrees of freedom system Coupled vibration Building shaking Reference coordinates Reference vibration Solving with Newton's equation of motion Solving with Euler-Lagrange equation of motion 第７回講義 力学問題へのアプローチ（その４） 規準座標 規準振動 連成振動の演習 Lecture 7: Approaches to Mechanics Problems (Part 4) Reference coordinates Reference vibration Exercise of coupled vibration 第８回講義 ハミルトン形式の基礎（その１） ハミルトンの運動方程式（正準方程式） ハミルトニアン ハミルトンの運動方程式の導出 自由落下・調和振動・物体と滑車・連成振動 Lecture 8: Basics of Hamiltonian Style (Part 1) Hamilton's equation of motion (canonical equation) Hamiltonian Derivation of Hamilton's equation of motion Free fall, harmonic vibration, object and pulley, coupled vibration 第９回講義 ハミルトン形式の基礎（その２） 配位空間と位相空間 リウヴィルの定理 位相空間の測度 保存系と散逸系 自由落下・調和振動・物体と滑車・連成振動 Lecture 9: Basics of Hamiltonian Style (Part 2) Configuration space and topological space Liouville's theorem Topological space measure Conservation system and dissipation system Free fall, harmonic vibration, object and pulley, coupled vibration 第１０回講義 正準変換 変形ハミルトンの原理 母関数 ポアソン括弧式 自由落下・調和振動・物体と滑車・連成振動 Lecture 10: Canonical transformation The modified Hamilton principle Generating function Poisson bracket expression Free fall, harmonic vibration, object and pulley, coupled vibration 第１１回講義 力学問題へのアプローチ（その５） 非保存系における解析力学 強制振動とダッシュポット 自由落下・調和振動・物体と滑車 車の揺れ ビルの揺れ ニュートンの運動方程式で解く場合 オイラー・ラグランジュの運動方程式で解く場合 Lecture 11: Approach to Mechanics Problems (Part 5) Analytical mechanics in nonconservative systems Forced vibration and dashpot Free fall, harmonic vibration, object and pulley Car shake Building shaking Solving with Newton's equation of motion Solving with Euler-Lagrange equation of motion 第１２回講義 束縛運動とラグランジュの未定乗数法 簡単な運動 斜面を滑る質点，斜面を転がる物体 束縛運動 オイラー・ラグランジュの運動方程式 ラグランジュの未定乗数法 ラグランジュの未定乗数法の導出 Lecture 12: Bound motion and Lagrange multiplier method Simple movement-mass point sliding on a slope, object rolling on a slope Binding movement Euler-Lagrange equation of motion Lagrange multiplier method Derivation of Lagrange multiplier method 第１３回講義 解析力学と量子力学 最小作用原理と経路積分 並進運動・落下運動 経路積分からのSchrodinger方程式の導出 正準方程式と正準量子化 Lecture 13: Analytical Mechanics and Quantum Mechanics Minimum action principle and path integral Translation / falling motion Derivation of the Schrodinger equation from path integrals Canonical equations and canonical quantization 第１４回講義 特殊相対性理論と電磁場下での粒子のラグランジアン 特殊相対性理論 特殊相対性理論下での粒子のラグランジアン 電磁気学とスカラー・ベクトルポテンシャル 電磁場下での粒子のラグランジアン Lecture 14: Special Relativity and Lagrangian of Particles under Electromagnetic Field Special relativity Lagrangian of particles under special relativity Electromagnetism and scalar vector potential Lagrangian of a particle under an electromagnetic field 第１５回講義 全体のまとめと復習 レポートの回答 Lecture 15: Summary and Review Report Answer 第１６回 定期試験 Regular Exam |
| 事前・事後学修の内容 | 事前学修：特に必要はありません． 事後学修：Moodleの小テストに回答ください． Moodleに掲げた板書ノートを参考に，各自の授業ノートを完成ください． レジュメの最後に記されているレポート課題を解いてください． Pre-learning: No special requirements. Subsequent study: Please answer the quiz of Moodle. Please complete your own class notebook with reference to the notebook on Moodle. Complete the report assignment at the end of the resume. |
| 事前学修の時間: 事後学修の時間:200分/回 |