三重大学ウェブシラバス

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科目の基本情報

開講年度 2024 年度
開講区分 工学部機械工学科／総合工学科機械工学コース ・基礎教育
受講対象学生 学部(学士課程) : 2年次
工学部総合工学科機械工学コース
選択・必修 必修
授業科目名 工業数学A(ベクトル解析)
こうぎょうすうがくえい(べくとるかいせき)
Advanced Engineering Mathematics A
単位数 2 単位
ナンバリングコード
開放科目 非開放科目　　 　
開講学期

前期
開講時間 月曜日 5, 6, 7時限
授業形態

対面授業

* 状況により変更される可能性があるので定期的に確認して下さい

「オンライン授業」・・・オンライン会議ツール等を利用して実施する同時双方向型の授業
「ハイブリッド授業」・・・「対面授業」と「オンライン授業」を併用した授業
「オンデマンド授業」・・・動画コンテンツの配信等によって実施する授業

開講場所 工学部17番教室
担当教員 吉川　高正（工学部）
YOSHIKAWA, Takamasa
実務経験のある教員 吉川 高正：硝子メーカーで製造・加工装置の設計及び生産技術開発を担当．機械設計や技術開発の基礎となる専門科目に多用される線形代数，微分・積分演算の重要性を提示する．
SDGsの目標
連絡事項

* 状況により変更される可能性があるので定期的に確認して下さい

学修の目的と方法

授業の概要 ベクトル解析は，物理学などの基礎分野から工学などの応用分野まで幅広く活用されている．本講義では，ベクトルの基礎からベクトル関数の微分，積分，積分定理などについて解説する．他の専門教育科目を理解できるようになることを講義の主目的とし，基礎的な諸概念と実際の計算手法の習熟に力点をおく．
学修の目的 具体的な数値から代数への一般化と四則演算から様々な関数，微分・積分への演算の拡張が「数学」のひとつの特徴です．工学では，「ものづくり」を目指した体系の中で，創造物を設計し，実現，発展させていくために数学を用い，コントロールする自然現象を理解するためにまた数学を用います．
工業数学Aは，工学～ものづくりにおいて必須となる効率的な処理を実現できる，多数の代数要素を単一的に扱う行列やベクトルと，それら代数での演算（微分・積分へのベクトル解析）を身につけます．この代数と演算は，多数の専門科目を学修し，ものづくりのための専門知識をエンジニアリング業務で使いこなすための必須スキルとなります．専門知識の修得と活用のための必須スキルとしての線形代数とベクトル解析を，演習（工業数学A・工業数学B演習）によるトレーニングを通じて，着実に使いこなせるようになることが目的です．
学修の到達目標 この科目自体の内容にかかわるものと機械工学専門科目のカリキュラムにかかわる二つの目標があります．この科目の目標として，受講生は，行列の概念と行列の和・積等の演算の修得と固有値問題を理解し，微分・積分解析への代数としての行列・ベクトルの拡張を学修することで，卒論等へのデータ処理・解析に利用できるようにします．カリキュラムにかかわる目標として，工業数学Aを修得することで，各種機械系～情報・電気系の専門科目について，数学概念による学修のハードルを大幅に下げ，専門科目において，専門知識や応用例の習熟に学修をターゲット化できるようになります．また，工業数学B～Eにおける数理や力学I，IIを理解する基礎を作ることが受講生の目標です．逆に工業数学Aの内容に習熟していない場合，他の工業数学，力学，多数の専門科目の学修において数学的なハードルが理解や学修の進捗の妨げとなり，結果的にエンジニアとして十分な素養を身に着けることができなくなります．
本講義で受講生が修得する目標は，新しい代数の概念と演算の拡張を利用可能にし，エンジニアとしての素養を身に着ける専門科目の学修で，数学的な論理展開や計算展開の理解でつまづかずに，専門知識やスキルの修得に集中できるようになることです．
ディプロマ・ポリシー
○ 学科・コース等の教育目標
　個性に輝く技術者となるために、自らの短所を補い、長所を伸ばそうとする意欲と姿勢を持っている。【関心・意欲】【態度】
　社会性・国際性・倫理観：社会的・国際的に広い視野、先見性、倫理観を持つために、科学技術の果たす歴史的・社会的役割を理解している。【態度】
　コミュニケーション能力：自らの考えを日本語や英語で科学的・論理的に説明し、コミュニケーションすることができる。【技能・表現】
○工学基礎：工学の礎となる数学、自然科学、情報技術に関する基礎知識を持っており、これを使って議論できる。【知識・理解】
　機械工学専門：材料と構造、運動と振動、エネルギーと流れ、情報と計測・制御、設計と生産、機械とシステムなどの機械工学の主要専門分野に関する基礎知識を持ち、これを応用することができる。【知識・理解】
　デザイン能力・創造性：社会の要求をとらえたモノづくりのための創造力と設計技術の基礎を修得している。【思考・判断】
　実践的能力：機械の専門分野とともに、産業の環境負荷や生態系への影響、環境と人間に調和する機械の知能化など、環境-人間-機械の関係を総体的にとらえて、科学技術を応用することができる。【思考・判断】
　自主性：地球の将来を見据えて、自ら課題を設定し、計画・実行することができる。【関心・意欲】
○ 全学の教育目標
感じる力
  • 　感性
  • 　共感
  • ○主体性
考える力
  • 　幅広い教養
  • 　専門知識・技術
  • ○論理的・批判的思考力
コミュニケーション力
  • 　表現力(発表・討論・対話)
  • 　リーダーシップ・フォロワーシップ
  • 　実践外国語力
生きる力
  • ○問題発見解決力
  • 　心身・健康に対する意識
  • 　社会人としての態度・倫理観

本講義は工業数学A・工業数学B演習における演習とともに，線形代数およびベクトル解析を使いこなせるようにする受講生の目標を実現する必要があり，自主的に演習問題に取り組む必要があります．また，演習問題の正誤だけではなく，その導出を論理的に理解することが重要です．本科目の応用範囲は非常に広いため，講義で行われる限定された例題から，広範な応用例を想像していく問題を見出す力を養うことが必要となります．

○ JABEE 関連項目
成績評価方法と基準 定期試験の60%（／満点）の取得が単位認定基準です．評点は定期試験の取得点から，三重大学の成績基準に従って（学生便覧確認）決定されます．ただし，工業数学A・工業数学B演習の工業数学A領域における課題を演習することが試験の受験資格となります．演習課題は講義出席者に提示されます．すなわち出席と演習及び演習の適切な実施（演習における理解）が8割（15回講義×80%＝12回）以上であることが，試験の受験資格取得に必要であり，試験において60%以上の取得が単位認定に必要です．
なお，工業数学Aと工業数学A・工業数学B演習の工業数学A領域は連続時限で行い，時間区分されませんので，両科目への出席が必要です．
授業の方法 講義

授業の特徴

PBL

特色ある教育

英語を用いた教育
授業アンケート結果を受けての改善点 原理，応用に関して例示を踏まえて講義します．応用については大学のカリキュラム上の専門科目とのかかわりと実際のエンジニアリング業務における直接的な応用例等を通じて，受講生が目標を実現するための重要性，動機を明確化していきます．
教科書 E.クライツィグ著　堀素夫訳　線形代数とベクトル解析（原書第8版）（技術者のための高等数学２）培風館
参考書 １．E.Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics (10th Ed. International Student Version), John Wiley & Sons Inc.
２．鈴木岳人，問題を解くことで学ぶベクトル解析，コロナ社．
オフィスアワー 月曜18:00-19:00．工学部2号館2207室．必ずアポイントを取ってください．
受講要件
予め履修が望ましい科目 入門数学演習（専門必修教育科目），基礎線形代数学I，基礎線形代数学II，基礎微分積分学Ⅰ，基礎微分積分学Ⅱ（いずれも教養教育・教養基盤科目）を履修していること．単位認定は問いませんが，学修の目標を実現するために，十分に復習してください．
発展科目 工業数学A・工業数学B演習は必ず同時に履修してください．
工業数学B，工業数学C～Eを理解するうえで，この科目の学修成果が利用されます．また，材料力学，流体工学基礎・流体力学，制御工学，機械力学およびこれらの発展科目の学修において必要となり，応用例を修得していきます．
その他 授業計画における事前・事後学習の時間は，高等学校までの数学の理解，入門数学演習，基礎線形代数学I，II，基礎微分積分学I，IIなどの理解度，習熟度とテキスト等の読解力で大幅に変化します．目安であり，目標ではありません．

授業計画

各回
共通		 MoodleのコースURL https://moodle.mie-u.ac.jp/moodle35/course/view.php?id=18658
第1回 概要 講義ガイダンス，行列とベクトル，基礎的な計算
授業時間内の学修内容 講義：講義の進め方，学修の方法，単位認定についてガイダンスする．
行列およびベクトル（スカラ）の基本と基礎的な計算について説明する．
演習：テキスト1.1~1.2節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 線形代数（Linear Algebra），行列（Matrix），ベクトル（Vector)，和（Addition），スカラー積（Scalar Multiplication），行列の積（Matrix Multiplication），転置（Transposition）
事前学修の内容 予習：テキスト1.1節~1.2節．テキストを読み，おおよその流れを把握しておく．
著者序文によって学修する重要性を十分に理解しておき，テキスト全体を見渡して，応用例について大まかに把握しておく．可能であれば原書（参考文献）のPart B：Linear Algebra, Vector Calculus（Part序文）およびChapter 7序文について目を通しておくことが望ましい．
本講義で利用するmoodleの公開トピックについて熟読の上，十分理解しておく．
事前学修の時間 180分
事後学修の内容 復習：テキスト1.1節~1.2節
1.1節～1.2節付属問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，入門数学演習，基礎線形代数学I，IIを復習する．
事後学修の時間 60分
自由記述欄
第2回 概要 行列を用いた連立1次方程式の演算
授業時間内の学修内容 講義：Gaussの消去法による連立1次方程式の演算と，Rank，1次独立および連立1次方程式の解の存在や一意性について説明する．
演習：テキスト1.3節~1.5節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 連立一次方程式（Linear System of Equations），Gaussの消去法（Gauss Elimination），ランク（Rank），一次独立（Linear Independence）
事前学修の内容 予習：テキスト1.3節～1.5節．テキストを読み，おおよその流れを把握しておく．
事前学修の時間 120分
事後学修の内容 復習：テキスト1.3節~1.5節
1.3節~1.5節付属問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，入門数学演習，基礎線形代数学I，IIを復習する．
事後学修の時間 120分
自由記述欄
第3回 概要 行列式，逆行列
授業時間内の学修内容 講義：行列式およびCramerの公式による連立方程式の解について概要を説明する．また逆行列とGauss-Jordanの消去法について説明する．
演習：テキスト1.6節～1.8節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 行列式（Determinants），Cramerの公式（Cramer's Rule），逆行列（Inverse of Matrix），Gauss-Jordanの消去法（Gauss-Jordan Elimination）
事前学修の内容 予習：テキスト1.6節～1.8節．テキストを読み，おおよその流れを把握しておく．
事前学修の時間 120分
事後学修の内容 復習：テキスト1.6節~1.8節
1.6節~1.8節付属問題，章末問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，入門数学演習，基礎線形代数学I，IIを復習する．
事後学修の時間 120分
自由記述欄
第4回 概要 固有値問題：固有値と固有ベクトル
授業時間内の学修内容 講義：固有値と固有ベクトルについて説明し，幅広い応用範囲と重要性について説明する．
演習：テキスト2.1節~2.2節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 固有値（Eigenvalue），固有ベクトル（Eigenvector），固有値問題（Eigenvalue Problem），固有空間（Eigenspace）
事前学修の内容 予習：テキスト2.1節～2.2節．テキストを読み，おおよその流れを把握しておく．
可能であれば原書（参考文献）のChapter 8序文について目を通しておくことが望ましい．
事前学修の時間 60分
事後学修の内容 復習：テキスト2.1節~2.2節
2.1節~2.2節付属問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，入門数学演習，基礎線形代数学I，IIを復習する．
事後学修の時間 180分
自由記述欄
第5回 概要 特徴的な行列とその性質
授業時間内の学修内容 講義：対称行列，交代行列，直交行列，複素行列など，重要な特徴を有する行列について説明する．
演習：テキスト2.3節~2.5節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 正方行列（Square Matrix）,対称行列（Symmetric Matrix），交代行列（Skew-symmetric Matrix)，直交行列（Ortthogonal Matrix），固有基底（Eigenbase），二次形式（Quadratic Forms），対角化（Diagonalization），主軸（Principal axes），複素行列（Complex Matrix）
事前学修の内容 予習：テキスト2.3節~2.5節．テキストを読み，おおよその流れを把握しておく．
事前学修の時間 60分
事後学修の内容 復習：テキスト2.3節~2.5節
2.3節~2.5節付属問題，章末問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
中間試験のために，第5回講義までの内容を復習しておく．
内容や演習が理解できない場合は，入門数学演習，基礎線形代数学I，IIを復習する．
事後学修の時間 180分
自由記述欄
第6回 概要 中間試験
行列の演算，連立1次方程式及び固有値問題，特徴的な行列の性質に関する項目について試験する．単位認定基準．
授業時間内の学修内容 記述式ペーパーテスト（対面式）
キーワード(Key Word(s)) 線形代数（Linear Algebra），行列・ベクトル・行列式・連立方程式（Matrices, Vectors, Determinants, Linear Systems），行列の固有値問題（Matrix Eigenvalue Problems）
事前学修の内容 テキスト1~2章を復習し，例問，節末，章末問題について十分に演習しておく．
事前学修の時間 210分
事後学修の内容 テキストで復習しなおし，講義で説明された関連項目（専門科目および専門知識）に照らして自己分析する．
内容が理解できない場合は，講義ノートを復習しなおし，入門数学演習，基礎線形代数学I，IIを復習する．
事後学修の時間 30分
自由記述欄 このテストの得点は定期試験と合わせて単位認定基準となります．追試，再試は実施できません．
第7回 概要 内積，外積
授業時間内の学修内容 講義：ベクトルの内積及び外積について説明し，それらの重要な応用について紹介する．
演習：テキスト3.1節~3.3節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 内積（Inner Product / Dot Product），外積（Vector Product / Cross Product），スカラ三重積（Scalar Triple Product）
事前学修の内容 予習：テキスト3.1節~3.3節．
可能であれば原書（参考文献）のChapter 9序文について目を通しておくことが望ましい．
事前学修の時間 60分
事後学修の内容 復習：テキスト3.1節~3.3節
3.1節~3.3節付属問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，入門数学演習，基礎線形代数学I，IIを復習する．
事後学修の時間 180分
自由記述欄
第8回 概要 ベクトル関数とスカラ関数，ベクトル場とスカラ場，それらの導関数
授業時間内の学修内容 講義：曲線や弧の長さ，曲率などにかかわる，ベクトル関数およびベクトル場，スカラ関数とスカラ場について説明する．
演習：テキスト3.4節~3.7節関連問題
キーワード(Key Word(s)) ベクトル関数（Vector Function），スカラ関数（Scalar Function），ベクトル場（Vector Field），スカラ場（Scalar Field），導関数（Derivatives），曲線や弧の長さ（Curve, Arc Length），曲率（Curvature）
事前学修の内容 予習：テキスト3.4節~3.7節．
事前学修の時間 120分
事後学修の内容 復習：テキスト3.4節~3.7節
3.4節~3.7節付属問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，基礎微分積分学I，IIを復習する．
事後学修の時間 120分
自由記述欄
第9回 概要 多変数関数の微分法
授業時間内の学修内容 講義：多数の独立変数に従属したベクトル関数を扱うために，その概念を復習し，微分法について説明する．
演習：テキスト3.8節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 多変数関数（Functions of Several Variables）
事前学修の内容 予習：テキスト3.8節
事前学修の時間 60分
事後学修の内容 復習：テキスト3.8節
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，基礎線形代数学I，II，基礎微分積分学I，IIを復習する．
事後学修の時間 180分
自由記述欄
第10回 概要 Gradient（勾配），Divergence（発散），Curl（カール）
授業時間内の学修内容 講義：工学の基礎である物理や力学において重要なGradient，Divergence，Curlの概念と演算方法について説明し，応用例および積分法への利用を紹介することで重要性について説明する．
演習：テキスト3.9節~3.11節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 勾配（Gradient），発散（Divergence），カール（回転：Curl），平均値の定理（Mean Value Theorems），方向微分（Directional Derivative），ラプラシアン（Laplacian），ナブラ（Nabla Squared）
事前学修の内容 予習：テキスト3.9節~3.11節．
事前学修の時間 120分
事後学修の内容 復習：テキスト3.9節~3.11節
3.9節~3.11節付属問題，章末問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，基礎線形代数学I，II，基礎微分積分学I，IIを復習する．
事後学修の時間 120分
自由記述欄
第11回 概要 線積分と経路に依存しない線積分
授業時間内の学修内容 講義：線積分とその演算，応用例について説明する．また，エネルギ保存など重要な物理現象にかかわる経路（Path）に依存しない線積分と，依存する線積分について述べる．
演習：テキスト4.1節~4.2節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 線積分（Line Integrals），経路に依存しない（Path Independence）
事前学修の内容 予習：テキスト4.1節~4.2節．
可能であれば原書（参考文献）のChapter 10序文について目を通しておくことが望ましい．
事前学修の時間 60分
事後学修の内容 復習：テキスト4.1節~4.2節
4.1節~4.2節付属問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，これまでの講義ノートを復習するとともに，基礎微分積分学I，IIを復習する．
事後学修の時間 180分
自由記述欄
第12回 概要 平面内のGreenの定理（二重積分と線積分の変換）
授業時間内の学修内容 講義：二重積分から線積分，線積分から二重積分に変換するGreenの定理について説明する．
演習：テキスト4.3節~4.4節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 二重積分（Double Integral），ヤコビアン（Jacobian），Greenの定理（Green's Theorem）
事前学修の内容 予習：テキスト4.3節~4.4節．
事前学修の時間 120分
事後学修の内容 復習：テキスト4.3節~4.4節
4.3節~4.4節付属問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，これまでの講義ノートを復習するとともに，基礎微分積分学I，IIを復習する．
事後学修の時間 120分
自由記述欄
第13回 概要 面積分（Surface integrals）
授業時間内の学修内容 講義：曲面上の面積分（Surface integrals）とその計算方法について説明する．
演習：テキスト4.5節~4.6節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 面積分（Surface integrals），接平面（Tangent Plane），法線ベクトル（Normal Vector）
事前学修の内容 予習：テキスト4.5節~4.6節．
事前学修の時間 120分
事後学修の内容 復習：テキスト4.5節~4.6節
4.5節~4.6節付属問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，これまでの講義ノートを復習するとともに，基礎微分積分学I，IIを復習する．
事後学修の時間 120分
自由記述欄
第14回 概要 GaussのDivergence定理（三重積分と面積分の変換）
授業時間内の学修内容 講義：ベクトル場のDivergenceを用いた，三重積分と面積分を相互に変換するためのGaussの発散定理を説明する．
演習：テキスト4.7節~4.8節関連問題
キーワード(Key Word(s)) 三重積分（Triple Integrals），Gaussの発散定理（Divergence Theorem of Gauss）
事前学修の内容 予習：テキスト4.7節~4.8節．
事前学修の時間 120分
事後学修の内容 復習：テキスト4.7節~4.8節
4.7節~4.8節付属問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，これまでの講義ノートを復習するとともに，基礎微分積分学I，IIを復習する．
事後学修の時間 120分
自由記述欄
第15回 概要 Stokesの定理（曲面の面積分と線積分の変換）
授業時間内の学修内容 講義：面積分と線積分を相互に変換するためのStokesの定理を説明する．
演習：テキスト4.9節関連問題
キーワード(Key Word(s)) Stokesの定理（Stokes's Theorem）
事前学修の内容 予習：テキスト4.9節.
事前学修の時間 60分
事後学修の内容 復習：テキスト4.9節
4.9節付属問題，章末問題を行う．
講義で提示された演習を行う．
内容や演習が理解できない場合は，これまでの講義ノートを復習するとともに，基礎微分積分学I，IIを復習する．
定期試験に向けて，第15回までの講義内容と演習問題を復習しておく．
事後学修の時間 180分
自由記述欄
第16回 概要 定期試験
ベクトル関数，ベクトル場，スカラ関数，スカラ場の微分及び積分法に関する項目について，行列の基本を含めて試験する．単位認定基準．
授業時間内の学修内容 記述式ペーパーテスト（対面式）
キーワード(Key Word(s)) 線形代数（Linear Algebra），行列・ベクトル・行列式・連立方程式（Matrices, Vectors, Determinants, Linear Systems），行列の固有値問題（Matrix Eigenvalue Problems），ベクトルの微分法（Vector Differential Calculus），勾配・発散・カール（Grad, Div, Curl），ベクトルの積分法（Vector Integral Calculus），積分定理（Integral Theorems）
事前学修の内容 テキストを復習し，例問，節末，章末問題について十分に演習しておく．
事前学修の時間 240分
事後学修の内容
事後学修の時間
自由記述欄 このテストの結果は中間試験の得点と合わせて単位認定基準および評点となります．
再試・追試は実施できません．

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