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科目の基本情報
| 開講年度 | 2023 年度 | |
|---|---|---|
| 開講区分 | 生物資源学部 | |
| 受講対象学生 |
共生環境学科・全教育コース 学部(学士課程) : 1年次 |
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| 選択・必修 | 必修 教育コース必修 |
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| 授業科目名 | 環境系数学 | |
| かんきょうけいすうがく | ||
| Mathematics for Environmental Physics | ||
| 単位数 | 2 単位 | |
| ナンバリングコード | BIOR-Envi-2231-005
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| 開放科目 | 非開放科目 | |
| 開講学期 |
後期 |
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| 開講時間 |
金曜日 7, 8時限 |
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| 授業形態 |
対面授業 * 状況により変更される可能性があるので定期的に確認して下さい
「オンライン授業」・・・オンライン会議ツール等を利用して実施する同時双方向型の授業 |
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| 開講場所 | 生物資源棟211教室（受講人数により、教室が変更になる場合があります、Moodle生物資源学部・生物資源学研究科 学生掲示板で確認して下さい。） | |
| 担当教員 | 坂井 勝（生物資源学研究科） | |
| SAKAI, Masaru | ||
| SDGsの目標 |
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| 連絡事項 | * 状況により変更される可能性があるので定期的に確認して下さい |
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学修の目的と方法
| 授業の概要 | AIや深層学習、数値シミュレーションによって社会現象や自然現象を予測する上で、数理モデルへの理解は必要不可欠です。本講義では、常微分方程式を使った数理モデルの構築、およびその解法について学びます。 （育てたい資質や能力） この講義を通じて、現象を数学的してんから理解する資質と能力を身につけることを目指します。 （DP、CPとの関連） この講義は、三重大学の目標である４つの力の「感じる力」と「考える力」を身につけるため、生物資源学部のDPである（2）専門基礎知識の修得、（3）科学的で論理的な思考展開能力の修得を目指します。 |
|---|---|
| 学修の目的 | 自然現象や社会現象を予測するために必要な、仮定・モデルの構築・計算・モデルの評価をできる能力を取得することを目的とします。特に常微分方程式の構築と解法の知識を得、Excelを使った作図により解の解釈ができるようになることを目的とします。 |
| 学修の到達目標 | 環境系数学を通じて、身の回りで生じている現象を数学的視点からモデル化して予測する知識を得ます。その際、簡単な微分方程式を立てて解を求めること、エクセルを使って解を評価することができるようになります。そのために、以下の学修到達目標を設定します。 （知識） 常微分方程式の定式化、及びその解法についての基礎知識を習得します。 （態度・習慣） 講義後の課題への取り組みを通して、内容の復習を行う習慣を身につけ、教員を始めとする第三者へ表現できる能力を身につけます。 （技能） 講義後の課題への取り組みを通して、数式を導出したり、要素間の関係をExcelを使って図示する技能を養うことができます。 |
| ディプロマ・ポリシー |
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| 成績評価方法と基準 | 70%以上の出席を前提に、課題提出（100%）で評価。 （知識） 常微分方程式の解法について、複数回出される練習問題の課題を通じて評価します（30％）。 （態度） 毎回の課題について、提出の有無、期限の遅れの有無について評価します（20%）。 （技能） 毎回の課題における内容によって評価します（50%）。 以上の評価基準をもとに60%以上で単位が取得できます。 |
| 授業の方法 | 講義 |
| 授業の特徴 |
Moodleを活用する授業 |
| 授業改善の工夫 | 授業中に説明した課題についてExcelでグラフ化する時間を設け、学生の理解を深める。 |
| 教科書 | |
| 参考書 | 微分方程式で数学モデルを作ろう（デブィット バージェス・モラグ ボリー著，垣田高夫・大町比佐栄訳，日本評論社） 数学モデル作って楽しく学ぼう 新Excelコンピュータシミュレーション（三井和男，森北出版株式会社） すぐわかる微分方程式（石村園子，東京図書） |
| オフィスアワー | 月曜日13：00－17：30 575室、要事前連絡 |
| 受講要件 | 授業後半に演習を行うため，ノートパソコンを持参すること。 |
| 予め履修が望ましい科目 | データサイエンスI 数学基礎 |
| 発展科目 | 環境解析基礎I・II・III 情報科学応用演習 物質循環解析学 |
| その他 | 測量士補資格取得に関連した科目 |
授業計画
| 各回 共通 |
MoodleのコースURL |
https://portal.mie-u.ac.jp/moodle3/course/view.php?id=373 |
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| 第1回 | 概要 | イントロダクション、マルサスの人口モデル |
|---|---|---|
| 授業時間内の学修内容 | 講義の概要について説明し、常微分方程式を使って人口増化を予測するマルサスのモデルと、常微分方程式の解法の一つである変数分離法について説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | イントロダクション（introduction）、常微分方程式（ordinary differential equation）、変数分離法（separation of variables）、マルサスの人口モデル（Malthusian growth model） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第2回 | 概要 | ブェアフルストの人口モデル |
| 授業時間内の学修内容 | マルサスの人口モデルの問題点について説明し、その改良モデルであるブェアフルストの人口モデルの定式と解法について説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | ロジスティック曲線（Lojistic equation）、ブェアフルストの人口モデル（Verhulst model）、 | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第3回 | 概要 | 誤差の計算 |
| 授業時間内の学修内容 | マルサスモデルやブェアフルストの人口モデルについて、実測値と比較し、絶対誤差、相対誤差、二乗平均平方根誤差などの計算方法について説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | 絶対誤差（absolute error）、相対誤差（relative error）、二乗平均平方根誤差RMSE（Root Mean Squared error） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第4回 | 概要 | 放射性物質の崩壊 |
| 授業時間内の学修内容 | 常微分方程式を使って、放射世物質の存在量の時間変化を予測するモデルについて説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | 放射性物質（radioactive material）、放射性セシウム（radioactive cesium）、放射性ヨウ素（radioactive iodine）、半減期（half-life） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第5回 | 概要 | 五大湖の汚染 |
| 授業時間内の学修内容 | 河川の流入流出による湖の汚染浄化について予測するモデルを立て、その解法について説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | 質量保存則（mass conservation law）、非同次方程式（inhomogeneous function）、積分因子（integration factor）、定数変化法（variation of parameters） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第6回 | 概要 | 窒素肥料の形態変化（連鎖反応） |
| 授業時間内の学修内容 | 畑地土壌に施肥された有機物は微生物により分解され、植物が吸収可能な無機態のアンモニア態窒素と硝酸態窒素に変化します。この連鎖反応を定式化し、窒素成分の時間変化を予測するモデルについて説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | 連鎖反応（chain reaction）、窒素肥料（nitrogen fertilizer） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第7回 | 概要 | 窒素肥料の形態変化（感度解析） |
| 授業時間内の学修内容 | 前週で定式化した窒素成分の形態変化について、分解定数が与える影響について考察していきます。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | 感度解析（sensitivity analysis）、分解定数（decomposition parameter） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第8回 | 概要 | 魚の個体群の資源開発（魚の体重増加と個体数現象モデル） |
| 授業時間内の学修内容 | 漁獲資源を保護しつつ、効率的な漁獲を行うための簡易的なモデルについて説明します。ここでは、魚の体重増加モデルと個体数減少モデルについて、説明します。また、ExcelにおけるIf関数の使い方について説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | If関数（If function） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第9回 | 概要 | 魚の個体群の資源開発（数値積分法） |
| 授業時間内の学修内容 | 前週の体重増加モデルと個体数減少モデルから、漁獲高を予測するモデルについて説明します。その中で、複雑な関数を積分する方法として、Excelを使った数値積分法について説明します。またVisual Basicを使った計算方法を紹介します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | 数値積分（numerical integration scheme）、Visual Basic（Visual Basic） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第10回 | 概要 | 競争種の増加と減少 |
| 授業時間内の学修内容 | 競争種の増加と減少について、線形2階微分方程式を使った予測モデルの構築、おそびその解法について説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | 線形2階微分方程式（Second-order linear function）、特性方程式（complementary function）、基本解（elementary solution）、一般解（general solution）、特殊解（particular solution） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第11回 | 概要 | 被食者と捕食者の増加と減少 |
| 授業時間内の学修内容 | 被食者と捕食者の増加と減少について、非線形2階微分方程式で予測するモデルを説明します。その解法として、Excelを使った陽解法を説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | 非線形2階微分方程式（Second-order non-linear function）、陽解法（explicit method）、数値解（numerical solution） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第12回 | 概要 | 解析解と数値解の比較 |
| 授業時間内の学修内容 | 厳密解としての解析解と、近似解としての数値解を比較し、それぞれの解法のメリットデメリットについて説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | 解析解（analytical solution）、数値解（numeical solution）、時間ステップ（time step） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第13回 | 概要 | 直線近似と最小二乗法 |
| 授業時間内の学修内容 | 逆解析法として、直線近似および最小二乗法について説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | 線形回帰（linear regression）、最小二乗法（least square method）、逆解析（inverse analysis） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第14回 | 概要 | ソルバーを使った最小二乗法 |
| 授業時間内の学修内容 | より複雑な関数を実測値に適合するために、Excelソルバーを使った最小二乗法について説明します。その際、関数の当てはまりの良さを表す決定係数についても説明します。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | Excelソルバー(Excel solver)、最小二乗法（least square method）、決定係数（determination coefficient） | |
| 事前学修の内容 | Moodleコースから配布する講義資料を熟読し、関連する教科書の内容に目を通しておく。 | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 講義で出す課題について取り組み、Moodleコースに提出する。 | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 | ||
| 第15回 | 概要 | 学習内容の振り返り |
| 授業時間内の学修内容 | 常微分方程式を用いる意義、方程式の種類や解法など、講義内容のまとめを行います。 | |
| キーワード(Key Word(s)) | まとめ（summary） | |
| 事前学修の内容 | これまでの講義資料を熟読しておく | |
| 事前学修の時間 | 120分 | |
| 事後学修の内容 | 期末テストに向けて講義内容を復習する | |
| 事後学修の時間 | 120分 | |
| 自由記述欄 |